微分積分学準備例

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y + 37 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $37$ を引きます。

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$

ステップ 2

$9 x^{2} - 54 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 54$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 54$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 27}{9}$

ステップ 2.3.2.2

$- 27$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$9$ を $- 27$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- 54$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

ステップ 2.4.2.1.3

$2916$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 81$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $81$ をかけます。

$e = 0 - 81$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $81$ を引きます。

$e = - 81$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ に代入します。

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

ステップ 3

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$ を方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$ の中の $9 x^{2} - 54 x$ に代入します。

$9 {(x - 3)}^{2} - 81 + 4 y^{2} + 40 y = - 37$

ステップ 4

両辺に $81$ を加えて、 $- 81$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} + 40 y = - 37 + 81$

ステップ 5

$4 y^{2} + 40 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 40$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{40}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$40$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $40$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (4)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{20}{4}$

ステップ 5.3.2.2

$20$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot 5}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot 5}{4 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{1}$

ステップ 5.3.2.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$d = 5$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$40$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1600}{16}$

ステップ 5.4.2.1.3

$1600$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 100$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $100$ をかけます。

$e = 0 - 100$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $100$ を引きます。

$e = - 100$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y + 5)}^{2} - 100$ に代入します。

$4 {(y + 5)}^{2} - 100$

ステップ 6

$4 {(y + 5)}^{2} - 100$ を方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$ の中の $4 y^{2} + 40 y$ に代入します。

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} - 100 = - 37 + 81$

ステップ 7

両辺に $100$ を加えて、 $- 100$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = - 37 + 81 + 100$

ステップ 8

$- 37 + 81 + 100$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 37$ と $81$ をたし算します。

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = 44 + 100$

ステップ 8.2

$44$ と $100$ をたし算します。

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = 144$

ステップ 9

各項を $144$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 5)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{36} = 1$

ステップ 11

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 12

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 5$

$h = 3$

ステップ 13

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 14

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

ステップ 15.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

ステップ 15.1.3

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

ステップ 15.1.4

$36$ から $16$ を引きます。

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

ステップ 15.1.5

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.5.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

ステップ 15.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

ステップ 15.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

ステップ 15.2

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$2$ を $2 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

ステップ 15.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

ステップ 15.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

10進法形式：

$0.74535599 \dots$

ステップ 17

微分積分学準備 例

微分積分学準備例