微分積分学準備例

$x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 8 y = 27$

ステップ 1

$x^{2} - 6 x$ の平方完成。

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ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

ステップ 1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{1}$

ステップ 1.3.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{4}$

ステップ 1.4.2.1.3

$36$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

ステップ 1.4.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - 9$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 3)}^{2} - 9$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 9$

ステップ 2

${(x - 3)}^{2} - 9$ を方程式 $x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 8 y = 27$ の中の $x^{2} - 6 x$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 8 y = 27$

ステップ 3

両辺に $9$ を加えて、 $- 9$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 3)}^{2} - 4 y^{2} - 8 y = 27 + 9$

ステップ 4

$- 4 y^{2} - 8 y$ の平方完成。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 4$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 4)}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 4.3.2.2

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 4.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

ステップ 4.4.2.1.3

$64$ を $- 16$ で割ります。

$e = 0 - - 4$

ステップ 4.4.2.1.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 0 + 4$

ステップ 4.4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$e = 4$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 4 {(y + 1)}^{2} + 4$ に代入します。

$- 4 {(y + 1)}^{2} + 4$

ステップ 5

$- 4 {(y + 1)}^{2} + 4$ を方程式 $x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 8 y = 27$ の中の $- 4 y^{2} - 8 y$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 4 {(y + 1)}^{2} + 4 = 27 + 9$

ステップ 6

両辺に $4$ を加えて、 $4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 3)}^{2} - 4 {(y + 1)}^{2} = 27 + 9 - 4$

ステップ 7

$27 + 9 - 4$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$27$ と $9$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} - 4 {(y + 1)}^{2} = 36 - 4$

ステップ 7.2

$36$ から $4$ を引きます。

${(x - 3)}^{2} - 4 {(y + 1)}^{2} = 32$

ステップ 8

各項を $32$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{32} - \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{32} = \frac{32}{32}$

ステップ 9

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{32} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{8} = 1$

微分積分学準備 例

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