微分積分学準備例

$4 x^{2} - 20 x + 24 y + 61 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 20 x + 24 y + 61 = - 4 x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $20 x$ を足します。

$24 y + 61 = - 4 x^{2} + 20 x$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $61$ を引きます。

$24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$

ステップ 1.1.2

$24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 y}{24} = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 y}{24} = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (- x^{2})}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (- x^{2})}{4 (6)} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 (- x^{2})}{4 \cdot 6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$20$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.3.1

$4$ を $20 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{24} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.3.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{4 (6)} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{4 \cdot 6} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} + \frac{- 61}{24}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} - \frac{61}{24}$

ステップ 1.2

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} - \frac{61}{24}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{61}{24}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{6})})$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{6}})$

ステップ 1.2.3.2.4

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{6}})$

ステップ 1.2.3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})$

ステップ 1.2.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})$

ステップ 1.2.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.2.3.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 3))$

ステップ 1.2.3.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.6.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{3 (2)} (- (1 \cdot 3))$

ステップ 1.2.3.2.6.2

$3$ を $- (1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{3 (2)} (3 (- 1 \cdot (1)))$

ステップ 1.2.3.2.6.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{5}{3 \cdot 2} (3 (- 1 \cdot (1)))$

ステップ 1.2.3.2.6.4

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{2} (- 1 \cdot (1))$

ステップ 1.2.3.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{5}{2} \cdot - 1$

ステップ 1.2.3.2.8

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$d = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

ステップ 1.2.3.2.9

$5$ に $- 1$ をかけます。

$d = \frac{- 5}{2}$

ステップ 1.2.3.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{5}{6}$ に当てはめます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{6}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{36} (- \frac{3}{2}))$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{36} \cdot \frac{- 3}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

$3$ を $36$ で因数分解します。

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 (12)} \cdot \frac{- 3}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 \cdot 12} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 \cdot 12} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.5

式を書き換えます。

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{12} \cdot \frac{- 1}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$\frac{25}{12}$ に $\frac{- 1}{2}$ をかけます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{25 \cdot - 1}{12 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$25$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{- 25}{12 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.8

$12$ に $2$ をかけます。

$e = - \frac{61}{24} - \frac{- 25}{24}$

ステップ 1.2.4.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{61}{24} - - \frac{25}{24}$

ステップ 1.2.4.2.1.10

$- - \frac{25}{24}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{61}{24} + 1 (\frac{25}{24})$

ステップ 1.2.4.2.1.10.2

$\frac{25}{24}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{61}{24} + \frac{25}{24}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 61 + 25}{24}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 61$ と $25$ をたし算します。

$e = \frac{- 36}{24}$

ステップ 1.2.4.2.4

$- 36$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.1

$12$ を $- 36$ で因数分解します。

$e = \frac{12 (- 3)}{24}$

ステップ 1.2.4.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.2.1

$12$ を $24$ で因数分解します。

$e = \frac{12 \cdot - 3}{12 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{12 \cdot - 3}{12 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.4.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{- 3}{2}$

ステップ 1.2.4.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{3}{2}$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{6} {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$ に代入します。

$- \frac{1}{6} {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{6}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例