微分積分学準備例

$x^{2} + 12 x + 2 y + 42 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$12 x + 2 y + 42 = - x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $12 x$ を引きます。

$2 y + 42 = - x^{2} - 12 x$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $42$ を引きます。

$2 y = - x^{2} - 12 x - 42$

ステップ 1.1.2

$2 y = - x^{2} - 12 x - 42$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2 y = - x^{2} - 12 x - 42$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 (1)} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6 x}{1} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.4

$- 6 x$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{- 42}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 42$ を $2$ で割ります。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 6 x - 21$

ステップ 1.2

$- \frac{x^{2}}{2} - 6 x - 21$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 6$

$c = - 21$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - 3 (- 1 \cdot 2)$

ステップ 1.2.3.2.3

$- 3 (- 1 \cdot 2)$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.2.3.2.3.2

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$d = 6$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 21 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = - 21 - \frac{36}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - 21 - \frac{36}{- 4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = - 21 - \frac{36}{\frac{- 4}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$e = - 21 - \frac{36}{- 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$36$ を $- 2$ で割ります。

$e = - 21 - - 18$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$e = - 21 + 18$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 21$ と $18$ をたし算します。

$e = - 3$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} - 3$ に代入します。

$- \frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} - 3$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{2} - 3$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 6$

$k = - 3$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 6, - 3)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例