微分積分学準備例

$y = \frac{π}{2} + \sin (x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{π}{2} + \sin (y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\frac{π}{2} + \sin (y) = x$ として書き換えます。

$\frac{π}{2} + \sin (y) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$\sin (y) = x - \frac{π}{2}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ が $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2})$

ステップ 4.2.3

$(\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{2} + \sin (x))$

ステップ 4.2.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{2} + \sin (x))$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$0$ を $2$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

ステップ 4.2.4.2

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$ の値を求めます。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 4.3.3

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

ステップ 4.3.4.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$0$ を $2$ で割ります。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ は $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

微分積分学準備 例

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