微分積分学準備例

$(x - 7) {(x - 1)}^{2} (x + 4) < 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 7 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 3

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5

最終解は $(x - 7) {(x - 1)}^{2} (x + 4) < 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, 1, - 4$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$((- 6) - 7) {((- 6) - 1)}^{2} ((- 6) + 4) < 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $1274$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.2

区間 $- 4 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- 4 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) - 7) {((0) - 1)}^{2} ((0) + 4) < 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $- 28$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.3

区間 $1 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $1 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) - 7) {((4) - 1)}^{2} ((4) + 4) < 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 216$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.4

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$((10) - 7) {((10) - 1)}^{2} ((10) + 4) < 0$

ステップ 7.4.3

左辺 $3402$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 1$ 真

$1 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 1$ 真

$1 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x < 1$ または $1 < x < 7$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- 4, 1) \cup (1, 7)$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例