微分積分学準備例

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

ステップ 1

式 $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - \frac{7}{2}$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

群による因数分解。

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ステップ 5.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.1.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.1.1.2

$- 2$ を $3$ プラス $- 5$ に書き換える

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

ステップ 5.1.3

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

ステップ 5.2

$(x + 1) (3 x - 5)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.4

括弧を削除します。

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.5

$x$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.6

$x$ と $- 5$ を並べ替えます。

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.7

括弧を削除します。

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.8

$3$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.9

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.10

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.13

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.14

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.2.15

$- 5 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

ステップ 5.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

ステップ 5.4

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

ステップ 5.5

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

ステップ 5.6

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

ステップ 5.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

ステップ 5.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

ステップ 5.9

被除数 $- \frac{25 x}{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

ステップ 5.10

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

ステップ 5.11

式は被除数から引く必要があるので、 $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

ステップ 5.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

ステップ 5.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

ステップ 5.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{7}{2}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例