微分積分学準備例

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 4)}$

ステップ 1.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

ステップ 1.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 1.1.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x {(x - 2)}^{2}$ です。

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) ({(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.6

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.6.2

$5 x^{2} - 18 x + 24$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.1.2

$A ({(x - 2)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ({(x - 2)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.2

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ((x - 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.3.2

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.3.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.4.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.4.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.4.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.5

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + A (- 4 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.6.2

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.7

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.7.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.7.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.7.8

${(x - 2)}^{2}$ と $x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.8.1

$x - 2$ を $(C) (x {(x - 2)}^{2})$ で因数分解します。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{x - 2}$

ステップ 1.7.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.8.2.1

$1$ を掛けます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.7.8.2.2

共通因数を約分します。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.7.8.2.3

式を書き換えます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{C (x (x - 2))}{1}$

ステップ 1.7.8.2.4

$C (x (x - 2))$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x (x - 2))$

ステップ 1.7.9

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 2)$

ステップ 1.7.10

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 2)$

ステップ 1.7.11

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} - 2 \cdot x)$

ステップ 1.7.12

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} + C (- 2 x)$

ステップ 1.7.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

ステップ 1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$A$ を移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

ステップ 1.8.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

ステップ 1.8.3

$4 A$ を移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + B x + C x^{2} - 2 C x + 4 A$

ステップ 1.8.4

$B x$ を移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + C x^{2} + B x - 2 C x + 4 A$

ステップ 1.8.5

$- 4 x A$ を移動させます。

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + C x^{2} - 4 x A + B x - 2 C x + 4 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = A + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$24 = 4 A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$24 = 4 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $4 A = 24$ として書き換えます。

$4 A = 24$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.1.2

$4 A = 24$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$4 A = 24$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$24$ を $4$ で割ります。

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $6$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5 = A + C$ の $A$ のすべての発生を $6$ で置き換えます。

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 3.2.3

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$ の $A$ のすべての発生を $6$ で置き換えます。

$- 18 = - 4 \cdot 6 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

ステップ 3.3

$5 = 6 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $6 + C = 5$ として書き換えます。

$6 + C = 5$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

ステップ 3.3.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$C = 5 - 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

ステップ 3.3.2.2

$5$ から $6$ を引きます。

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

ステップ 3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 18 = - 24 + B - 2 C$ の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$- 18 = - 24 + B - 2 \cdot - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 24 + B - 2 \cdot - 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 18 = - 24 + B + 2$

$C = - 1$

$A = 6$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 24$ と $2$ をたし算します。

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

ステップ 3.5

$- 18 = B - 22$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $B - 22 = - 18$ として書き換えます。

$B - 22 = - 18$

$C = - 1$

$A = 6$

ステップ 3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $22$ を足します。

$B = - 18 + 22$

$C = - 1$

$A = 6$

ステップ 3.5.2.2

$- 18$ と $22$ をたし算します。

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

ステップ 3.6

連立方程式を解きます。

$B = 4 C = - 1 A = 6$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$B = 4, C = - 1, A = 6$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{6}{x} + \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 2}$

微分積分学準備 例

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