微分積分学準備例

$x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145$

ステップ 1

$x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 145, \pm 5, \pm 29$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 145, \pm 5, \pm 29$

ステップ 2.1.3

$5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $5$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$5$ を多項式に代入します。

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 79 \cdot 5 - 145$

ステップ 2.1.3.2

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 79 \cdot 5 - 145$

ステップ 2.1.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$125 - 15 \cdot 25 + 79 \cdot 5 - 145$

ステップ 2.1.3.4

$- 15$ に $25$ をかけます。

$125 - 375 + 79 \cdot 5 - 145$

ステップ 2.1.3.5

$125$ から $375$ を引きます。

$- 250 + 79 \cdot 5 - 145$

ステップ 2.1.3.6

$79$ に $5$ をかけます。

$- 250 + 395 - 145$

ステップ 2.1.3.7

$- 250$ と $395$ をたし算します。

$145 - 145$

ステップ 2.1.3.8

$145$ から $145$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.4

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145}{x - 5}$

ステップ 2.1.5

$x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145$ を $x - 5$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$79 x$

$145$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 10 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x^{2} + 50 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$29 x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$29 x$	-	$145$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $29 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$29 x$	-	$145$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$29 x$	-	$145$
							+	$29 x$	-	$145$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $29 x - 145$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$29 x$	-	$145$
							-	$29 x$	+	$145$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$79 x$	-	$145$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$79 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$29 x$	-	$145$
							-	$29 x$	+	$145$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 10 x + 29$

ステップ 2.1.6

$x^{3} - 15 x^{2} + 79 x - 145$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 5) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

ステップ 2.3

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.4

$x^{2} - 10 x + 29$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 10 x + 29$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 10$ 、および $c = 29$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 29$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$100$ から $116$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{10 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm 2 i$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

ステップ 2.5

最終解は $(x - 5) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 5 + 2 i, 5 - 2 i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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