微分積分学準備例

$y^{2} + 3 x + 2 y + 7 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$3 x + 2 y + 7 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$3 x + 7 = - y^{2} - 2 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$3 x = - y^{2} - 2 y - 7$

ステップ 1.1.2

$3 x = - y^{2} - 2 y - 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$3 x = - y^{2} - 2 y - 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} - \frac{7}{3}$

ステップ 1.2

$- \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} - \frac{7}{3}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{3}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = - \frac{7}{3}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.3.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.4

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ をかけます。

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.5

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$d = \frac{1}{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.6.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.6.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{1}$

ステップ 1.2.3.2.7

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.7.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{1}$

ステップ 1.2.3.2.7.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6

$\frac{4}{9}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{4}))$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$- \frac{3}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{9} \cdot - 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot - 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.6.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.6.4

式を書き換えます。

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1)$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$e = - \frac{7}{3} - \frac{- 1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{7}{3} - - \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.9

$- - \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{7}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 1.2.4.2.1.9.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{7}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 7 + 1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 7$ と $1$ をたし算します。

$e = \frac{- 6}{3}$

ステップ 1.2.4.2.4

$- 6$ を $3$ で割ります。

$e = - 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - 2$ に代入します。

$- \frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - 2$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = - \frac{1}{3} \cdot {(y + 1)}^{2} - 2$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - 2$

$k = - 1$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 2, - 1)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例