微分積分学準備例

$3 + \sqrt{4 a - 5} \leq 10$

ステップ 1

$\sqrt{4 a - 5}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$\sqrt{4 a - 5} \leq 10 - 3$

ステップ 1.2

$10$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{4 a - 5} \leq 7$

ステップ 2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 a - 5}}^{2} \leq 7^{2}$

ステップ 3

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 a - 5}$ を ${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 a - 5)}^{1} \leq 7^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$4 a - 5 \leq 7^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$7$ を $2$ 乗します。

$4 a - 5 \leq 49$

ステップ 4

$a$ について解きます。

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ステップ 4.1

$a$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

不等式の両辺に $5$ を足します。

$4 a \leq 49 + 5$

ステップ 4.1.2

$49$ と $5$ をたし算します。

$4 a \leq 54$

ステップ 4.2

$4 a \leq 54$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 a \leq 54$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a \leq \frac{54}{4}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$54$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $54$ で因数分解します。

$a \leq \frac{2 (27)}{4}$

ステップ 4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$a \leq \frac{27}{2}$

ステップ 5

$- 7 + \sqrt{4 a - 5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.1

$\sqrt{4 a - 5}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 a - 5 \geq 0$

ステップ 5.2

$a$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

不等式の両辺に $5$ を足します。

$4 a \geq 5$

ステップ 5.2.2

$4 a \geq 5$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4 a \geq 5$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a \geq \frac{5}{4}$

ステップ 5.3

定義域は式が定義になる $a$ のすべての値です。

$[\frac{5}{4}, \infty)$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$a < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$

$a > \frac{27}{2}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $a < \frac{5}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $a < \frac{5}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = 0$

ステップ 7.1.2

$a$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$3 + \sqrt{4 (0) - 5} \leq 10$

ステップ 7.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.2

区間 $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = 4$

ステップ 7.2.2

$a$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$3 + \sqrt{4 (4) - 5} \leq 10$

ステップ 7.2.3

左辺 $6.31662479$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.3

区間 $a > \frac{27}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $a > \frac{27}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = 16$

ステップ 7.3.2

$a$ を元の不等式の $16$ で置き換えます。

$3 + \sqrt{4 (16) - 5} \leq 10$

ステップ 7.3.3

左辺 $10.68114574$ は右辺 $10$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$a < \frac{5}{4}$ 偽

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ 真

$a > \frac{27}{2}$ 偽

$a < \frac{5}{4}$ 偽

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ 真

$a > \frac{27}{2}$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

区間記号：

$[\frac{5}{4}, \frac{27}{2}]$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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