微分積分学準備例

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

$\cos^{4} (θ)$ を ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ に書き換えます。

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

ステップ 2.2

$\sin^{4} (θ)$ を ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ に書き換えます。

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos^{2} (θ)$ であり、 $b = \sin^{2} (θ)$ です。

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.4.3

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (θ)$ であり、 $b = \sin (θ)$ です。

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 4.1.2

$\cos (θ) \cos (θ)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 4.1.2.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 4.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 4.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

ステップ 4.1.4

$\sin (θ) (- \sin (θ))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.4.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

ステップ 4.1.4.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

ステップ 4.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

ステップ 4.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

ステップ 4.2

$\cos (θ) \sin (θ)$ と $\cos (θ) (- \sin (θ))$ をたし算します。

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ステップ 4.2.1

$\cos (θ)$ と $- 1$ を並べ替えます。

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

ステップ 4.2.2

$\cos (θ) \sin (θ)$ から $\cos (θ) \sin (θ)$ を引きます。

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

ステップ 4.3

${\cos (θ)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 6

$- {\sin (θ)}^{2}$ から ${\sin (θ)}^{2}$ を引きます。

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ は公式です

微分積分学準備 例

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