微分積分学準備例

$\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4} \geq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 9 x - 22 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 9 x - 22$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 22$ で、その和が $9$ です。

$- 2, 11$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 11) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 11 = 0$

ステップ 4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

$x + 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x + 11$ が $0$ に等しいとします。

$x + 11 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$x = - 11$

ステップ 6

最終解は $(x - 2) (x + 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 11$

ステップ 7

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 2, - 11$

$x = - 4$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 2, - 11, - 4$

ステップ 10

$\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 4 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 11$

$- 11 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

区間 $x < - 11$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

区間 $x < - 11$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 14$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 14$ で置き換えます。

$\frac{{(- 14)}^{2} + 9 (- 14) - 22}{(- 14) + 4} \geq 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 4.8$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.2

区間 $- 11 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

区間 $- 11 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) - 22}{(- 8) + 4} \geq 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $7.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.3

区間 $- 4 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

区間 $- 4 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) - 22}{(0) + 4} \geq 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 5.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{2} + 9 (4) - 22}{(4) + 4} \geq 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $3.75$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 11$ 偽

$- 11 < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 11$ 偽

$- 11 < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$- 11 \leq x < - 4$ または $x \geq 2$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$[- 11, - 4) \cup [2, \infty)$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例