微分積分学準備例

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 80 = 0$

ステップ 1

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = - 9$ 、 $b = - 54$ 、および $c = x^{2} + 2 x - 80$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80))}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$- 54$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.2

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$2$ に $36$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.4.2

$36$ に $- 80$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.5

$2916$ から $2880$ を引きます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6

因数分解した形で $36 x^{2} + 72 x + 36$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$36$ を $36 x^{2} + 72 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1.1

$36$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.1.2

$36$ を $72 x$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.1.3

$36$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.1.4

$36$ を $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.1.5

$36$ を $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.3.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.6.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.7

$36 {(x + 1)}^{2}$ を ${(6 (x + 1))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.9

分配則を当てはめます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.1.10

$6$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- 54$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.2

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.4.1

$2$ に $36$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.4.2

$36$ に $- 80$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.5

$2916$ から $2880$ を引きます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6

因数分解した形で $36 x^{2} + 72 x + 36$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.1

$36$ を $36 x^{2} + 72 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.1.1

$36$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.1.2

$36$ を $72 x$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.1.3

$36$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.1.4

$36$ を $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.1.5

$36$ を $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.4.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.6.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.7

$36 {(x + 1)}^{2}$ を ${(6 (x + 1))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.9

分配則を当てはめます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.1.10

$6$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

ステップ 1.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - \frac{54 + 6 x + 6}{18}$

ステップ 1.4.5

$54 + 6 x + 6$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$6$ を $54$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 x + 6}{18}$

ステップ 1.4.5.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6}{18}$

ステップ 1.4.5.3

$6$ を $6$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6 (1)}{18}$

ステップ 1.4.5.4

$6$ を $6 (x) + 6 (1)$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x + 1)}{18}$

ステップ 1.4.5.5

$6$ を $6 \cdot 9 + 6 (x + 1)$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{18}$

ステップ 1.4.5.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.6.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 (3)}$

ステップ 1.4.5.6.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 \cdot 3}$

ステップ 1.4.5.6.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{9 + x + 1}{3}$

ステップ 1.4.6

$9$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{x + 10}{3}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$- 54$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.2

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

$2$ に $36$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.4.2

$36$ に $- 80$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.5

$2916$ から $2880$ を引きます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6

因数分解した形で $36 x^{2} + 72 x + 36$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1

$36$ を $36 x^{2} + 72 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1.1

$36$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.1.2

$36$ を $72 x$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.1.3

$36$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.1.4

$36$ を $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.1.5

$36$ を $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.5.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.6.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.7

$36 {(x + 1)}^{2}$ を ${(6 (x + 1))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.9

分配則を当てはめます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.1.10

$6$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

ステップ 1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

ステップ 1.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - \frac{54 - (6 x + 6)}{18}$

ステップ 1.5.5

$54 - (6 x + 6)$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$54$ を $- 1 (- 54)$ に書き換えます。

$y = - \frac{- 1 \cdot - 54 - (6 x + 6)}{18}$

ステップ 1.5.5.2

$- 1$ を $- 1 (- 54) - (6 x + 6)$ で因数分解します。

$y = - \frac{- 1 (- 54 + 6 x + 6)}{18}$

ステップ 1.5.5.3

$6$ を $- 1 (- 54 + 6 x + 6)$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{18}$

ステップ 1.5.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 (3)}$

ステップ 1.5.5.4.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 \cdot 3}$

ステップ 1.5.5.4.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{- 1 (- 9 + x + 1)}{3}$

ステップ 1.5.6

$- 9$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{- 1 (x - 8)}{3}$

ステップ 1.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x - 8}{3}$

ステップ 1.5.8

$- - \frac{x - 8}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 1 (\frac{x - 8}{3})$

ステップ 1.5.8.2

$\frac{x - 8}{3}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x - 8}{3}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

ステップ 2

多項式を標準形で書くために、簡約し、項を降順に並べます。

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 3

分数 $\frac{x + 10}{3}$ を2つの分数に分割します。

$y = - (\frac{x}{3} + \frac{10}{3})$

$y = \frac{x - 8}{3}$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

ステップ 5

分数 $\frac{x - 8}{3}$ を2つの分数に分割します。

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{3} x) - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

ステップ 8

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例