微分積分学準備例

$\frac{3 p + 12}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1

各項を因数分解します。

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ステップ 1.1

$3$ を $3 p + 12$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $3 p$ で因数分解します。

$\frac{3 (p) + 12}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1.1.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 p + 3 \cdot 4}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1.1.3

$3$ を $3 p + 3 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{3 (p + 4)}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $p^{2} - 7 p + 10$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $- 7$ です。

$- 5, - 2$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1.3

$2$ を $2 p - 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $2 p$ で因数分解します。

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p) - 4} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 p + 2 \cdot - 2} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 1.3.3

$2$ を $2 p + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p - 2)} = \frac{1}{p - 2}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(p - 5) (p - 2), 2 (p - 2), p - 2$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 2.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.6

$1, 2, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 2.7

$p - 5$ の因数は $p - 5$ そのものです。

$(p - 5) = p - 5$

$(p - 5)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.8

$p - 2$ の因数は $p - 2$ そのものです。

$(p - 2) = p - 2$

$(p - 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.9

$p - 5, p - 2, p - 2, p - 2$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(p - 5) (p - 2)$

ステップ 2.10

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$2 (p - 5) (p - 2)$

ステップ 3

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p - 2)} = \frac{1}{p - 2}$ の各項に $2 (p - 5) (p - 2)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p - 2)} = \frac{1}{p - 2}$ の各項に $2 (p - 5) (p - 2)$ を掛けます。

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.2

$2 \frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1

$2$ と $\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)}$ をまとめます。

$\frac{2 (3 (p + 4))}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.3

$(p - 5) (p - 2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$6 (p + 4) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.4

分配則を当てはめます。

$6 p + 6 \cdot 4 - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.5

$6$ に $4$ をかけます。

$6 p + 24 - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.6

$2 (p - 2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$- \frac{3}{2 (p - 2)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 p + 24 + \frac{- 3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.6.2

$2 (p - 2)$ を $2 (p - 5) (p - 2)$ で因数分解します。

$6 p + 24 + \frac{- 3}{2 (p - 2)} (2 (p - 2) (p - 5)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$6 p + 24 + \frac{- 3}{2 (p - 2)} (2 (p - 2) (p - 5)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.6.4

式を書き換えます。

$6 p + 24 - 3 (p - 5) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.7

分配則を当てはめます。

$6 p + 24 - 3 p - 3 \cdot - 5 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.1.8

$- 3$ に $- 5$ をかけます。

$6 p + 24 - 3 p + 15 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$6 p$ から $3 p$ を引きます。

$3 p + 24 + 15 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.2.2.2

$24$ と $15$ をたし算します。

$3 p + 39 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 p + 39 = 2 \frac{1}{p - 2} ((p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.3.2

$2$ と $\frac{1}{p - 2}$ をまとめます。

$3 p + 39 = \frac{2}{p - 2} ((p - 5) (p - 2))$

ステップ 3.3.3

$p - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$p - 2$ を $(p - 5) (p - 2)$ で因数分解します。

$3 p + 39 = \frac{2}{p - 2} ((p - 2) (p - 5))$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

$3 p + 39 = \frac{2}{p - 2} ((p - 2) (p - 5))$

ステップ 3.3.3.3

式を書き換えます。

$3 p + 39 = 2 (p - 5)$

ステップ 3.3.4

分配則を当てはめます。

$3 p + 39 = 2 p + 2 \cdot - 5$

ステップ 3.3.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$3 p + 39 = 2 p - 10$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$p$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $2 p$ を引きます。

$3 p + 39 - 2 p = - 10$

ステップ 4.1.2

$3 p$ から $2 p$ を引きます。

$p + 39 = - 10$

ステップ 4.2

$p$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $39$ を引きます。

$p = - 10 - 39$

ステップ 4.2.2

$- 10$ から $39$ を引きます。

$p = - 49$

微分積分学準備 例

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