微分積分学準備例

$f (x) = 8 x^{4} - 72 x^{3} + 144 x^{2}$

ステップ 1

$8 x^{4} - 72 x^{3} + 144 x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$8 x^{4} - 72 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$8 x^{2}$ を $8 x^{4} - 72 x^{3} + 144 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$8 x^{2}$ を $8 x^{4}$ で因数分解します。

$8 x^{2} (x^{2}) - 72 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$8 x^{2}$ を $- 72 x^{3}$ で因数分解します。

$8 x^{2} (x^{2}) + 8 x^{2} (- 9 x) + 144 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$8 x^{2}$ を $144 x^{2}$ で因数分解します。

$8 x^{2} (x^{2}) + 8 x^{2} (- 9 x) + 8 x^{2} (18) = 0$

ステップ 2.1.1.4

$8 x^{2}$ を $8 x^{2} (x^{2}) + 8 x^{2} (- 9 x)$ で因数分解します。

$8 x^{2} (x^{2} - 9 x) + 8 x^{2} (18) = 0$

ステップ 2.1.1.5

$8 x^{2}$ を $8 x^{2} (x^{2} - 9 x) + 8 x^{2} (18)$ で因数分解します。

$8 x^{2} (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

ステップ 2.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 18$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $18$ で、その和が $- 9$ です。

$- 6, - 3$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$8 x^{2} ((x - 6) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$8 x^{2} (x - 6) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $8 x^{2} (x - 6) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6, 3$

ステップ 3

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