微分積分学準備例

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x \leq 125$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x = 125$

ステップ 2

方程式の両辺から $125$ を引きます。

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125 = 0$

ステップ 3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5) = 0$

ステップ 3.2

最大公約数 $x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 5) (x^{2} - 25) = 0$

ステップ 3.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x + 5) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4

因数分解。

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ステップ 3.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(x + 5) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 3.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 3.5

指数をまとめます。

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ステップ 3.5.1

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 3.5.2

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

ステップ 3.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 5

${(x + 5)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

${(x + 5)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について ${(x + 5)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7

最終解は ${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 5, 5$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 \leq 125$

ステップ 9.1.3

左辺 $8$ は右辺 $125$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間 $- 5 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 5 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 \leq 125$

ステップ 9.2.3

左辺 $0$ は右辺 $125$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{3} + 5 {(8)}^{2} - 25 \cdot 8 \leq 125$

ステップ 9.3.3

左辺 $632$ は右辺 $125$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 5$ または $- 5 \leq x \leq 5$

ステップ 11

区間をまとめます。

$x \leq 5$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 5]$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例