微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

ステップ 2

$x^{2} + \frac{3}{4} x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

ステップ 2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

ステップ 2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.3

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{3}{8}$

ステップ 2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.1.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

ステップ 2.5.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 2.5.2.1.4

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.4.1

$\frac{9}{16}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.1.4.2

$16$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{9}{64}$

ステップ 2.5.2.2

$0$ から $\frac{9}{64}$ を引きます。

$e = - \frac{9}{64}$

ステップ 2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ に代入します。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

ステップ 3

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ の中の $x^{2} + \frac{3}{4} x$ に代入します。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

ステップ 4

両辺に $\frac{9}{64}$ を加えて、 $- \frac{9}{64}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

ステップ 5

$y^{2} + \frac{5}{3} y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{5}{3}$ と $y$ をまとめます。

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

ステップ 5.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

ステップ 5.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.2.3

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

$\frac{5}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

ステップ 5.4.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{5}{6}$

ステップ 5.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.5.2.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.5.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

ステップ 5.5.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.5.2.1.4

$\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.4.1

$\frac{25}{9}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

ステップ 5.5.2.1.4.2

$9$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{36}$

ステップ 5.5.2.2

$0$ から $\frac{25}{36}$ を引きます。

$e = - \frac{25}{36}$

ステップ 5.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ に代入します。

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

ステップ 6

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ の中の $y^{2} + \frac{5}{3} y$ に代入します。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

ステップ 7

両辺に $\frac{25}{36}$ を加えて、 $- \frac{25}{36}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

ステップ 8

$\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{288}{288}$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

ステップ 8.1.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{288}{288}$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

ステップ 8.1.3

$\frac{9}{64}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

ステップ 8.1.4

$\frac{9}{64}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

ステップ 8.1.5

$\frac{25}{36}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 8.1.6

$\frac{25}{36}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

ステップ 8.1.7

$2$ に $288$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

ステップ 8.1.8

$64 \cdot 9$ の因数を並べ替えます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

ステップ 8.1.9

$9$ に $64$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

ステップ 8.1.10

$36 \cdot 16$ の因数を並べ替えます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

ステップ 8.1.11

$16$ に $36$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

ステップ 8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$9$ に $9$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

ステップ 8.3.2

$25$ に $16$ をかけます。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

ステップ 8.4

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$288$ と $81$ をたし算します。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

ステップ 8.4.2

$369$ と $400$ をたし算します。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

ステップ 9

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 10

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

ステップ 11

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

ステップ 12

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

半径： $\frac{\sqrt{769}}{24}$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例