微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{225} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{225}$ を引きます。

$- \frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

ステップ 2

方程式の両辺に $- 64$ を掛けます。

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64}) = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1.1

$- \frac{y^{2}}{64}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 64 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.1.1.1.2

$64$ を $- 64$ で因数分解します。

$64 (- 1) \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$64 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.1.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.1.1.2.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = - 64 \cdot 1 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.2.1.2

$- 64$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = - 64 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.2.1.3

$- 64 (- \frac{x^{2}}{225})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $- 64$ をかけます。

$y^{2} = - 64 + 64 \frac{x^{2}}{225}$

ステップ 3.2.1.3.2

$64$ と $\frac{x^{2}}{225}$ をまとめます。

$y^{2} = - 64 + \frac{64 x^{2}}{225}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$64 x^{2}$ を ${(8 x)}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{225}}$

ステップ 5.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}}$

ステップ 5.3

$\frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}$ を ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 64 + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 8^{2} + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$- 8^{2}$ と ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8 x}{15})}^{2} - 8^{2}}$

ステップ 5.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{8 x}{15}$ であり、 $b = 8$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

ステップ 5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$8$ を $\frac{8 x}{15} + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$8$ を $\frac{8 x}{15}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

ステップ 5.6.1.2

$8$ を $8$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8 (1)) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

ステップ 5.6.1.3

$8$ を $8 \frac{x}{15} + 8 (1)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

ステップ 5.6.2

$8$ を $\frac{8 x}{15} - 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

$8$ を $\frac{8 x}{15}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} - 8)}$

ステップ 5.6.2.2

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} + 8 (- 1))}$

ステップ 5.6.2.3

$8$ を $8 \frac{x}{15} + 8 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 (\frac{x}{15} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) \cdot 8 (\frac{x}{15} - 1)}$

ステップ 5.6.3

$8$ に $8$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{x}{15} - 1)}$

ステップ 5.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + \frac{15}{15}) (\frac{x}{15} - 1)}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1)}$

ステップ 5.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}$

ステップ 5.10

$- 1$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}$

ステップ 5.11

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 1 \cdot 15}{15}}$

ステップ 5.12

$- 1$ に $15$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 15}{15}}$

ステップ 5.13

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.13.1

$64$ と $\frac{x + 15}{15}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15)}{15} \cdot \frac{x - 15}{15}}$

ステップ 5.13.2

$\frac{64 (x + 15)}{15}$ に $\frac{x - 15}{15}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{15 \cdot 15}}$

ステップ 5.13.3

$15$ に $15$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}}$

ステップ 5.14

$\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}$ を ${(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.14.1

$64 (x + 15) (x - 15)$ から完全累乗 $8^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{225}}$

ステップ 5.14.2

$225$ から完全累乗 $15^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.14.3

分数 $\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))}$

ステップ 5.15

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{8}{15} \sqrt{(x + 15) (x - 15)}$

ステップ 5.16

$\frac{8}{15}$ と $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

ステップ 7

$\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

ステップ 8.2

$x + 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x + 15$ が $0$ に等しいとします。

$x + 15 = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x = - 15$

ステップ 8.3

$x - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x - 15$ が $0$ に等しいとします。

$x - 15 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$x = 15$

ステップ 8.4

最終解は $(x + 15) (x - 15) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 15, 15$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

区間 $x < - 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 18$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 18$ で置き換えます。

$((- 18) + 15) ((- 18) - 15) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $99$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.2

区間 $- 15 < x < 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

区間 $- 15 < x < 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 15) ((0) - 15) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $- 225$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.3

区間 $x > 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 18$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $18$ で置き換えます。

$((18) + 15) ((18) - 15) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $99$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 15$ 真

$- 15 < x < 15$ 偽

$x > 15$ 真

$x < - 15$ 真

$- 15 < x < 15$ 偽

$x > 15$ 真

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 15$ または $x \geq 15$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 15] \cup [15, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 15, x \geq 15}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 15] \cup [15, \infty), {x | x \leq - 15, x \geq 15}$

値域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例