微分積分学準備例

$x^{3} - 3 x^{2} - x > - 3$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 3 x^{2} - x = - 3$

ステップ 2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3 = 0$

ステップ 3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$

ステップ 3.2

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 3.4

因数分解。

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ステップ 3.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 3.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 8

最終解は $(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1, 1$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - (- 4) > - 3$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 108$ は右辺 $- 3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - (0) > - 3$

ステップ 10.2.3

左辺 $0$ は右辺 $- 3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - (2) > - 3$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 6$ は右辺 $- 3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{3} - 3 {(6)}^{2} - (6) > - 3$

ステップ 10.4.3

左辺 $102$ は右辺 $- 3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 1$ または $x > 3$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- 1, 1) \cup (3, \infty)$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例