微分積分学準備例

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

ステップ 1

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ を ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

簡約します。

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3.4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 3$

$x = 2$

ステップ 2.3.5

解をまとめます。

$x = - 3, 2$

ステップ 2.4

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.4.2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.2.4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 3$

$x = 2$

ステップ 2.4.2.5

解をまとめます。

$x = - 3, 2$

ステップ 2.4.2.6

$\frac{x + 3}{x - 2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.6.1

$\frac{x + 3}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.2.6.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 2.4.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 2.4.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.4.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

ステップ 2.4.2.8.1.3

左辺 $0.375$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.4.2.8.2

区間 $- 3 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.8.2.1

区間 $- 3 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.4.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

ステップ 2.4.2.8.2.3

左辺 $- 1.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.4.2.8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.4.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

ステップ 2.4.2.8.3.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.4.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 2.4.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $x > 2$

ステップ 2.4.3

$\frac{x + 3}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

ステップ 2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

ステップ 2.6.1.3

左辺 $0.61237243$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.6.2

区間 $- 3 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

区間 $- 3 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

ステップ 2.6.2.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

ステップ 2.6.3.3

左辺 $1.87082869$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 3$ または $x > 2$

ステップ 3

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 3$

$x = 2$

ステップ 4.5

解をまとめます。

$x = - 3, 2$

ステップ 4.6

$\frac{x + 3}{x - 2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\frac{x + 3}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.6.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 4.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 4.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

ステップ 4.8.1.3

左辺 $0.375$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 4.8.2

区間 $- 3 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

区間 $- 3 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

ステップ 4.8.2.3

左辺 $- 1.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

ステップ 4.8.3.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 4.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 4.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $x > 2$

ステップ 5

$\frac{x + 3}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 6

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 3, x > 2}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例