微分積分学準備例

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

ステップ 1.2

$8 x^{2} - 32 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 32$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 32$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 16}{8}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 16$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$8$ を $- 16$ で因数分解します。

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 32$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$1024$ を $32$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 32$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $32$ をかけます。

$e = 0 - 32$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $32$ を引きます。

$e = - 32$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ に代入します。

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

ステップ 1.3

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$ を方程式 $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ の中の $8 x^{2} - 32 x$ に代入します。

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

ステップ 1.4

両辺に $32$ を加えて、 $- 32$ を方程式の右辺に移動させます。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

ステップ 1.5

$6 y^{2} + 24 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$24$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{12}{6}$

ステップ 1.5.3.2.2

$12$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$24$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $6$ をかけます。

$e = 0 - \frac{576}{24}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$576$ を $24$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 24$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $24$ をかけます。

$e = 0 - 24$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $24$ を引きます。

$e = - 24$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ に代入します。

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

ステップ 1.6

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$ を方程式 $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ の中の $6 y^{2} + 24 y$ に代入します。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

ステップ 1.7

両辺に $24$ を加えて、 $- 24$ を方程式の右辺に移動させます。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

ステップ 1.8

$- 8 + 32 + 24$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 8$ と $32$ をたし算します。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

ステップ 1.8.2

$24$ と $24$ をたし算します。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

ステップ 1.9

各項を $48$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(2, - 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{8 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{8 - 6^{1}}$

ステップ 5.3.4.5

指数を求めます。

$\sqrt{8 - 1 \cdot 6}$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\sqrt{8 - 6}$

ステップ 5.3.5.2

$8$ から $6$ を引きます。

$\sqrt{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 2 - (2 \sqrt{2}))$

ステップ 6.5

簡約します。

$(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

ステップ 6.6

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 2 + \sqrt{2})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 2 - (\sqrt{2}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(2, - 2 - \sqrt{2})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.6

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7

$8$ から $6$ を引きます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

偏心： $\frac{1}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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