微分積分学準備例

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ を引きます。

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

ステップ 2

${(y - 3)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

ステップ 3

$1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

1つの分数にまとめます。

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ステップ 3.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

ステップ 3.1.2

公分母の分子をまとめます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x - 2$ です。

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

ステップ 3.2.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

ステップ 3.2.3.3

分配則を当てはめます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

ステップ 3.2.3.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

ステップ 3.2.3.5

$2$ と $2$ をたし算します。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

ステップ 3.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

ステップ 3.3.2

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

ステップ 3.3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$- (x - 4)$ を $- 1 (x - 4)$ に書き換えます。

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

ステップ 3.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{x (x - 4)}{4}$ を ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.1

$x (x - 4)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

ステップ 5.1.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.1.3

分数 $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と ${(\frac{1}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

ステップ 5.1.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

ステップ 5.1.6

括弧を付けます。

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

ステップ 5.1.7

括弧を付けます。

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

ステップ 5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

ステップ 5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{- x (x - 4)}$ をまとめます。

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

ステップ 6.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

ステップ 6.4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

ステップ 6.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

ステップ 7

$\sqrt{- x (x - 4)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- x (x - 4) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 8.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 8.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 8.4

最終解は $- x (x - 4) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 12$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.2

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 12$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x \leq 4$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, 4]$

集合の内包的記法：

${x | 0 \leq x \leq 4}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[2, 4]$

集合の内包的記法：

${y | 2 \leq y \leq 4}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

値域： $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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