微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$

ステップ 1

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 15 \cdot - 1 + 9$

ステップ 2.1.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 15 \cdot - 1 + 9$

ステップ 2.1.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 7 \cdot 1 + 15 \cdot - 1 + 9$

ステップ 2.1.1.3.4

$7$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 7 + 15 \cdot - 1 + 9$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 1$ と $7$ をたし算します。

$6 + 15 \cdot - 1 + 9$

ステップ 2.1.1.3.6

$15$ に $- 1$ をかけます。

$6 - 15 + 9$

ステップ 2.1.1.3.7

$6$ から $15$ を引きます。

$- 9 + 9$

ステップ 2.1.1.3.8

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.5

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$15 x$

$9$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $6 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $9 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	+	$9$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x + 9$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 6 x + 9$

ステップ 2.1.1.6

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.5

最終解は $(x + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 3$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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