微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{100}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

ステップ 2

方程式の両辺に $64$ を掛けます。

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

ステップ 3.2.1.1.2

$64$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

ステップ 3.2.1.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{100}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

ステップ 3.2.1.1.3.3

$4$ を $100$ で因数分解します。

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

ステップ 3.2.1.1.3.4

共通因数を約分します。

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

ステップ 3.2.1.1.3.5

式を書き換えます。

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

ステップ 3.2.1.1.4

$16$ と $\frac{- x^{2}}{25}$ をまとめます。

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

ステップ 3.2.1.1.5

$- 1$ に $16$ をかけます。

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

ステップ 3.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 5.1.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

ステップ 5.1.2

$\frac{16 x^{2}}{25}$ を ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 8$ であり、 $b = \frac{4 x}{5}$ です。

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.3

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.4

項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$8$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.4.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$4$ を $8 \cdot 5 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1.1

$4$ を $8 \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.5.1.2

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.5.1.3

$4$ を $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $5$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.6

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.7

項を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$8$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

ステップ 5.7.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

ステップ 5.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$4$ を $8 \cdot 5 - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.8.1.1

$4$ を $8 \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

ステップ 5.8.1.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

ステップ 5.8.1.3

$4$ を $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

ステップ 5.8.2

$2$ に $5$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

ステップ 5.9

分数をまとめます。

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ステップ 5.9.1

$\frac{4 (10 + x)}{5}$ に $\frac{4 (10 - x)}{5}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

ステップ 5.9.2

掛け算します。

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ステップ 5.9.2.1

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

ステップ 5.9.2.2

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

ステップ 5.10

$\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ を ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 5.10.1

$16 (10 + x) (10 - x)$ から完全累乗 ${(2^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

ステップ 5.10.2

$25$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.10.3

分数 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

ステップ 5.11

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

ステップ 5.12

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

ステップ 5.13

$\frac{4}{5}$ と $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

ステップ 7

$\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

ステップ 8.2

$10 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$10 + x$ が $0$ に等しいとします。

$10 + x = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x = - 10$

ステップ 8.3

$10 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$10 - x$ が $0$ に等しいとします。

$10 - x = 0$

ステップ 8.3.2

$x$ について $10 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 8.3.2.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$- x = - 10$

ステップ 8.3.2.2

$- x = - 10$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$- x = - 10$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.3.1

$- 10$ を $- 1$ で割ります。

$x = 10$

ステップ 8.4

最終解は $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 10, 10$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 10$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 10$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 12$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 12$ で置き換えます。

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 44$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.2

区間 $- 10 < x < 10$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 10 < x < 10$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $100$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.3

区間 $x > 10$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 10$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 44$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 10$ 偽

$- 10 < x < 10$ 真

$x > 10$ 偽

$x < - 10$ 偽

$- 10 < x < 10$ 真

$x > 10$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 10 \leq x \leq 10$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 10, 10]$

集合の内包的記法：

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 8, 8]$

集合の内包的記法：

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

値域： $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例