微分積分学準備例

$(- \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

ステップ 1

変換式を使って直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, θ)$ に交換します。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 2

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3

極座標表の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$r = \sqrt{\frac{3^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{\frac{9}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.5

$2$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.6.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.6.2

積の法則を $3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$2$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8.2

$9$ に $3$ をかけます。

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8.3

公分母の分子をまとめます。

$r = \sqrt{\frac{9 + 27}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8.4

$9$ と $27$ をたし算します。

$r = \sqrt{\frac{36}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8.5

$36$ を $4$ で割ります。

$r = \sqrt{9}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.9

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 4

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{3}{2}})$

ステップ 5

$- \sqrt{3}$ の逆正切は $θ = 120 °$ です。

$r = 3$

$θ = 120 °$

ステップ 6

$(r, θ)$ 形式で極座標に変換した結果です。

$(3, 120 °)$

微分積分学準備 例

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