微分積分学準備例

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $36$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 x^{2}}{36} + \frac{9 y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{9 - 4}$

ステップ 5.3.4

$9$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + 3, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(3, 0)$

ステップ 6.4

楕円の2番目の交点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (3), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- 3, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(3, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(\sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\sqrt{5}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

ステップ 8.3.4

$9$ から $4$ を引きます。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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