微分積分学準備例

$x^{2} + 8 x = 4 y - 12$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

方程式を $4 y - 12 = x^{2} + 8 x$ として書き換えます。

$4 y - 12 = x^{2} + 8 x$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$4 y = x^{2} + 8 x + 12$

ステップ 1.1.3

$4 y = x^{2} + 8 x + 12$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$4 y = x^{2} + 8 x + 12$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1.1

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2.4

$2 x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{12}{4}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$12$ を $4$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 3$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.3.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$d = 4$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 3 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e = 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ を $4$ で割ります。

$e = 3 - \frac{4}{1}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 3 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 3 - 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$3$ から $4$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 1$ に代入します。

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 1$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 1$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 1$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 4, - 1)$

ステップ 4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

ステップ 4.3.2

数を割って簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$4$ を $4$ で割ります。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 4, 0)$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例