微分積分学準備例

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

ステップ 2

分数を引き算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ に $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ に $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3.1.3

$- - \cos (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3.1.3.2

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3.3

$0$ と $\cos (θ)$ をたし算します。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 3.4

$\cos (θ)$ と $\cos (θ)$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 6

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ を $2 \cot (θ) \csc (θ)$ に書き換えます。

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ は公式です

微分積分学準備 例

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