微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y - 12 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = x^{2} + 4 x - 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5

$36$ と $48$ をたし算します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.1.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.1.3

$4$ を $84$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2.1.2

$- 4$ を $3$ プラス $- 7$ に書き換える

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.7

$4 (- x + 3) (x + 7)$ を $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.7.2

括弧を付けます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

$36$ と $48$ をたし算します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.3

$4$ を $84$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.1.2

$- 4$ を $3$ プラス $- 7$ に書き換える

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7

$4 (- x + 3) (x + 7)$ を $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7.2

括弧を付けます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

ステップ 4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 3 + \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

$36$ と $48$ をたし算します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.3

$4$ を $84$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.1.2

$- 4$ を $3$ プラス $- 7$ に書き換える

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7

$4 (- x + 3) (x + 7)$ を $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7.2

括弧を付けます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 3 - \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 3 + \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

$y = - 3 - \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

ステップ 7

$\sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(- x + 3) (x + 7) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- x + 3 = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 8.2

$- x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$- x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$- x + 3 = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ について $- x + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 8.2.2.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 8.2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 8.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 8.2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 8.3

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 8.4

最終解は $(- x + 3) (x + 7) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 7$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$(- (- 10) + 3) ((- 10) + 7) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 39$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.2

区間 $- 7 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

区間 $- 7 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(- (0) + 3) ((0) + 7) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $21$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(- (6) + 3) ((6) + 7) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 39$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 偽

$- 7 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 7$ 偽

$- 7 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 7 \leq x \leq 3$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 7, 3]$

集合の内包的記法：

${x | - 7 \leq x \leq 3}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 8, 2]$

集合の内包的記法：

${y | - 8 \leq y \leq 2}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 7, 3], {x | - 7 \leq x \leq 3}$

値域： $[- 8, 2], {y | - 8 \leq y \leq 2}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例