微分積分学準備例

$x^{3} + 27 i = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $27 i$ を引きます。

$x^{3} = - 27 i$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = 0$ と $b = - 27$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 27)}^{2}}$

ステップ 5

$| z |$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 27$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{729}$

ステップ 5.2

$729$ を $27^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{27^{2}}$

ステップ 5.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 27$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 27}{0})$

ステップ 7

偏角が未定義で $b$ が負なので、複素平面上の点の角は $\frac{3 π}{2}$ です。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8

$θ = \frac{3 π}{2}$ と $| z | = 27$ の値を代入します。

$27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 9

方程式の右辺を三角公式で置き換えます。

$x^{3} = 27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

微分積分学準備 例