微分積分学準備例

$y = 3 \sin (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 3 (- \sin (x))$

ステップ 2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 \cos (x) = 0$

ステップ 4

$3 \cos (x) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$3 \cos (x) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{0}{3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$\cos (x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 7

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 8

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 8.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 9

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 10

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 11.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 13

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

ステップ 13.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 3$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 15.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 15.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.3

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 15.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 \cdot - 1$

ステップ 15.3.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3$

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極小値です

ステップ 17

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

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ステップ 17.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 17.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.2.3

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 17.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot - 1$

ステップ 17.2.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

ステップ 17.2.4

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 18

$f (x) = 3 \sin (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 3)$ は極大値です

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ は極小値です

ステップ 19

微分積分学準備 例

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