微分積分学準備例

$y = \arccos (\frac{x}{2})$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \arccos (\frac{y}{2})$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\arccos (\frac{y}{2}) = x$ として書き換えます。

$\arccos (\frac{y}{2}) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、逆余弦の中から $y$ を取り出します。

$\frac{y}{2} = \cos (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

ステップ 2.4.1.2

式を書き換えます。

$y = 2 \cos (x)$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ が $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

ステップ 4.2.3

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (2 \cos (x))$ の値を求めます。

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

ステップ 4.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

ステップ 4.3.3.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ は $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$

微分積分学準備 例

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