微分積分学準備例

$x^{3} y = - 6$

ステップ 1

$x^{3} y = - 6$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{3} y = - 6$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

ステップ 1.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 6}{x^{3}}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{6}{x^{3}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - \frac{6}{y^{3}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $- \frac{6}{y^{3}} = x$ として書き換えます。

$- \frac{6}{y^{3}} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{3}, 1$

ステップ 3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{3}$

ステップ 3.3

$- \frac{6}{y^{3}} = x$ の各項に $y^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{6}{y^{3}} = x$ の各項に $y^{3}$ を掛けます。

$- \frac{6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- \frac{6}{y^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

ステップ 3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 6 = x y^{3}$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $x y^{3} = - 6$ として書き換えます。

$x y^{3} = - 6$

ステップ 3.4.2

$x y^{3} = - 6$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$x y^{3} = - 6$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{- 6}{x}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{6}{x}$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$

ステップ 3.4.4

$\sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$- \frac{6}{x}$ を ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{6}{x}}$

ステップ 3.4.4.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}}$

ステップ 3.4.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

ステップ 3.4.4.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$y = - \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

ステップ 3.4.4.4

$\sqrt[3]{\frac{6}{x}}$ を $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 3.4.4.5

$\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = - (\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

ステップ 3.4.4.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.4.6.1

$\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.4.6.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.4.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.4.6.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 3.4.4.6.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.4.6.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.4.6.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.4.6.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.4.6.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.4.6.5.4.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

ステップ 3.4.4.6.5.5

簡約します。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

ステップ 3.4.4.7

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.4.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ が $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}}}{- \frac{6}{x^{3}}}$

ステップ 5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} (- \frac{x^{3}}{6}))$

ステップ 5.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.5

積の法則を $- \frac{6}{x^{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- 1)}^{2} {(\frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 {(\frac{6}{x^{3}})}^{2})} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.7

積の法則を $\frac{6}{x^{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{6^{2}}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.8

$6$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.9

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{3 \cdot 2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{6}}))} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.10

指数をまとめます。

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ステップ 5.2.10.1

$6$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 (\frac{36}{x^{6}})} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.10.2

$6$ と $\frac{36}{x^{6}}$ をまとめます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 36}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.10.3

$6$ に $36$ をかけます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{216}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.11

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.12

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.13

$\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$ を ${(\frac{6}{x^{2}})}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{{(\frac{6}{x^{2}})}^{3}} \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.14

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \frac{6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.15

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.15.1

$- \frac{6}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.15.2

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 (- 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.15.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

ステップ 5.2.15.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot x^{3})$

ステップ 5.2.16

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.16.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

ステップ 5.2.16.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

ステップ 5.2.16.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})$ の値を求めます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

ステップ 5.3.3.3

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.4

${\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}$ を $6 x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{6 x^{2}}$ を ${(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{({(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.4.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.4.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.4.5

簡約します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.5

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$x^{2}$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{3}}}$

ステップ 5.3.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

ステップ 5.3.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

ステップ 5.3.3.5.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6}{x}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (- \frac{x}{6}))$

ステップ 5.3.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$- \frac{x}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ は $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

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