微分積分学準備例

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{3}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.5

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.8

$- 3 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.8.1

$- 3$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.8.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.10.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 6$

ステップ 4.1.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 6$

ステップ 4.1.10.3

式を書き換えます。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 6$

ステップ 4.1.11

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 6$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 6 + 6 + \frac{27 - 27}{4}$

ステップ 4.2.2

$27$ から $27$ を引きます。

$- 6 + 6 + \frac{0}{4}$

ステップ 4.3

公分母を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 6}{1} + 6 + \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.2

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.3

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.4

$6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} + \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.5

$\frac{6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.6

$\frac{6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 6$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 24 + 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.5.2

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 24 + 24}{4}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 24$ と $24$ をたし算します。

$\frac{0}{4}$

ステップ 4.6.2

$0$ を $4$ で割ります。

$0$

ステップ 5

$\frac{3}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{3}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{3}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(\frac{3}{2})$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$	$0$

ステップ 6.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(\frac{3}{2})$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

ステップ 6.7

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(\frac{3}{2})$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{2} + 0 x - 4$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$2 x^{2} - 4$

ステップ 7

$2$ を $2 x^{2} - 4$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

ステップ 7.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

ステップ 7.3

$2$ を $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 6 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 10

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 10.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 11

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 11.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 12

最終解は $(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

10進法形式：

$x = 1.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

帯分数形：

$x = 1 \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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