微分積分学準備例

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y - 368 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $368$ を足します。

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$

ステップ 2

$9 x^{2} - 72 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 72$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 72$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 36}{9}$

ステップ 2.3.2.2

$- 36$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$9$ を $- 36$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- 72$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

ステップ 2.4.2.1.3

$5184$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 144$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $144$ をかけます。

$e = 0 - 144$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $144$ を引きます。

$e = - 144$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ に代入します。

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$

ステップ 3

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$ を方程式 $9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$ の中の $9 x^{2} - 72 x$ に代入します。

$9 {(x - 4)}^{2} - 144 + 16 y^{2} + 64 y = 368$

ステップ 4

両辺に $144$ を加えて、 $- 144$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 y^{2} + 64 y = 368 + 144$

ステップ 5

$16 y^{2} + 64 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$64$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{32}{16}$

ステップ 5.3.2.2

$32$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 5.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$64$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

ステップ 5.4.2.1.3

$4096$ を $64$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e = 0 - 64$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$e = - 64$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ に代入します。

$16 {(y + 2)}^{2} - 64$

ステップ 6

$16 {(y + 2)}^{2} - 64$ を方程式 $9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$ の中の $16 y^{2} + 64 y$ に代入します。

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} - 64 = 368 + 144$

ステップ 7

両辺に $64$ を加えて、 $- 64$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 368 + 144 + 64$

ステップ 8

$368 + 144 + 64$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$368$ と $144$ をたし算します。

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 512 + 64$

ステップ 8.2

$512$ と $64$ をたし算します。

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 576$

ステップ 9

各項を $576$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{576} + \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{576} = \frac{576}{576}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{64} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{36} = 1$

ステップ 11

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 12

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 8$

$b = 6$

$k = - 2$

$h = 4$

ステップ 13

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 14

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(6)}^{2}}}{8}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 - 6^{2}}}{8}$

ステップ 15.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 36}}{8}$

ステップ 15.1.3

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{\sqrt{64 - 36}}{8}$

ステップ 15.1.4

$64$ から $36$ を引きます。

$\frac{\sqrt{28}}{8}$

ステップ 15.1.5

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.5.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (7)}}{8}$

ステップ 15.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 7}}{8}$

ステップ 15.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{7}}{8}$

ステップ 15.2

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$2$ を $2 \sqrt{7}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{7})}{8}$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 15.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 15.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

10進法形式：

$0.66143782 \dots$

ステップ 17

微分積分学準備 例

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