微分積分学準備例

$y = \cos (2 x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \cos (2 y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\cos (2 y) = x$ として書き換えます。

$\cos (2 y) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$2 y = \arccos (x)$

ステップ 2.3

$2 y = \arccos (x)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 y = \arccos (x)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ が $f (x) = \cos (2 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos (2 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

ステップ 4.3.4

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ は $f (x) = \cos (2 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

微分積分学準備 例

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