微分積分学準備例

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 4.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 2 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 4.1.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 2 + 5 - 6$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$1 + 5 - 6$

ステップ 4.2.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 4.2.3

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$
	$1$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 5)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 6$

ステップ 6.7

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(- 6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$	$6$
	$1$	$1$	$- 6$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$	$6$
	$1$	$1$	$- 6$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 1 x - 6$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + x - 6$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) + (x - 2) (x + 3)$

$(x + 1) (x - 2) (x + 3)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

有理根検定を用いて $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 8.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 8.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 8.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 8.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 2 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 8.1.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 8.1.3.6

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 - 6$

ステップ 8.1.3.7

$1$ と $5$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 8.1.3.8

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 8.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x + 1}$

ステップ 8.1.5

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

ステップ 8.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

ステップ 8.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 8.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 8.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 8.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 8.1.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 8.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 8.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 8.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

ステップ 8.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 8.1.5.12

被除数 $- 6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 8.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 8.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 8.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 8.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + x - 6$

ステップ 8.1.6

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + x - 6) = 0$

ステップ 8.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 8.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 10

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 11

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 13

最終解は $(x + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 2, - 3$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例