微分積分学準備例

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (2 x)$ で置き換えます。

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.7

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ です。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $4 x$ とします。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

ステップ 3.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

ステップ 3.3.7

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

ステップ 3.3.8

$\frac{- 4}{2}$ と $\sin (4 x)$ をまとめます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

ステップ 3.3.9

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.9.1

$2$ を $- 4 \sin (4 x)$ で因数分解します。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

ステップ 3.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

ステップ 3.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.9.2.3

式を書き換えます。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

ステップ 3.3.9.2.4

$- 2 \sin (4 x)$ を $1$ で割ります。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

微分積分学準備 例

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