微分積分学準備例

$\frac{- 1}{x - 6} < \frac{2}{9 - x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{2}{9 - x}$ を引きます。

$\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

ステップ 2

$\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{x - 6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9 - x}{9 - x}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} < 0$

ステップ 2.3

$- \frac{2}{9 - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 6}{x - 6}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 6) (9 - x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{x - 6}$ に $\frac{9 - x}{9 - x}$ をかけます。

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{2}{9 - x}$ に $\frac{x - 6}{x - 6}$ をかけます。

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.4.3

$(x - 6) (9 - x)$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{9 - x}{(9 - x) (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (9 - x) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ を $- (9 - x) - 2 (x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 2.6.1.1

$9$ と $- x$ を並べ替えます。

$\frac{- (- x + 9) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6.1.2

$- 1$ を $- 2 (x - 6)$ で因数分解します。

$\frac{- (- x + 9) - (2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6.1.3

$- 1$ を $- (- x + 9) - (2 (x - 6))$ で因数分解します。

$\frac{- (- x + 9 + 2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- (- x + 9 + 2 x + 2 \cdot - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{- (- x + 9 + 2 x - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6.4

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{- (x + 9 - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.6.5

$9$ から $12$ を引きます。

$\frac{- (x - 3)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 3 = 0$

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- x = - 9$

ステップ 6

$- x = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$- x = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x = 9$

ステップ 7

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 3$

$x = 9$

$x = 6$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 3, 9, 6$

ステップ 10

$- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(9 - x) (x - 6) = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 10.2.2

$9 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.2.2.1

$9 - x$ が $0$ に等しいとします。

$9 - x = 0$

ステップ 10.2.2.2

$x$ について $9 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.2.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- x = - 9$

ステップ 10.2.2.2.2

$- x = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.2.1

$- x = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 10.2.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 10.2.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 10.2.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x = 9$

ステップ 10.2.3

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.2.3.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 10.2.3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 10.2.4

最終解は $(9 - x) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, 6$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 6) \cup (6, 9) \cup (9, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 3$

$3 < x < 6$

$6 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{- 1}{(0) - 6} < \frac{2}{9 - (0)}$

ステップ 12.1.3

左辺 $0.1\overline{6}$ は右辺 $0.\overline{2}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.2

区間 $3 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $3 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{- 1}{(4) - 6} < \frac{2}{9 - (4)}$

ステップ 12.2.3

左辺 $0.5$ は右辺 $0.4$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.3

区間 $6 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $6 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{- 1}{(8) - 6} < \frac{2}{9 - (8)}$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 0.5$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\frac{- 1}{(12) - 6} < \frac{2}{9 - (12)}$

ステップ 12.4.3

左辺 $- 0.1\overline{6}$ は右辺 $- 0.\overline{6}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 3$ 真

$3 < x < 6$ 偽

$6 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < 3$ 真

$3 < x < 6$ 偽

$6 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x < 3$ または $6 < x < 9$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 3) \cup (6, 9)$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例