微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$\frac{x}{2 x - 1} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 1$ と $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.3.4

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.4

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.4.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.4.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 2.1.4.4.1

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.1.4.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

ステップ 2.2

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.5

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.7

解をまとめます。

$x = 1, \frac{1}{2}$

ステップ 2.8

$\frac{x}{2 x - 1} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.8.1

$\frac{x}{2 x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.8.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.8.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.8.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.8.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.8.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.8.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.10.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.1.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

ステップ 2.10.1.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.10.2

区間 $\frac{1}{2} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.2.1

区間 $\frac{1}{2} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.75$

ステップ 2.10.2.2

$x$ を元の不等式の $0.75$ で置き換えます。

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

ステップ 2.10.2.3

左辺 $0.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.10.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

ステップ 2.10.3.3

左辺 $- 0.\overline{428571}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 2.11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

ステップ 3

$\frac{x}{2 x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 4.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(\frac{1}{2}, 1]$

集合の内包的記法：

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例