微分積分学準備例

$f (x) = 5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$5 {(- 5)}^{3} + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 5$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 5$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot - 125 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

ステップ 4.1.2

$5$ に $- 125$ をかけます。

$- 625 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

ステップ 4.1.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- 625 + 28 \cdot 25 + 16 (- 5) + 5$

ステップ 4.1.4

$28$ に $25$ をかけます。

$- 625 + 700 + 16 (- 5) + 5$

ステップ 4.1.5

$16$ に $- 5$ をかけます。

$- 625 + 700 - 80 + 5$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 625$ と $700$ をたし算します。

$75 - 80 + 5$

ステップ 4.2.2

$75$ から $80$ を引きます。

$- 5 + 5$

ステップ 4.2.3

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- 5$ は既知の根なので、多項式を $x + 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5}{x + 5}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$

ステップ 6.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$

	$5$

ステップ 6.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 5)$ を掛け、 $(- 25)$ の結果を被除数 $(28)$ の隣の項の下に置きます。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$
	$5$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$
	$5$	$3$

ステップ 6.5

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- 5)$ を掛け、 $(- 15)$ の結果を被除数 $(16)$ の隣の項の下に置きます。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$
	$5$	$3$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$
	$5$	$3$	$1$

ステップ 6.7

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 5)$ を掛け、 $(- 5)$ の結果を被除数 $(5)$ の隣の項の下に置きます。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$	$- 5$
	$5$	$3$	$1$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$	$- 5$
	$5$	$3$	$1$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$5 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 5$ 、 $b = 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 20$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.1.3

$9$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.1.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.1.2.2

$- 20$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.1.3

$9$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.1.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.4.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{11}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{11})}{10}$

ステップ 7.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- i \sqrt{11})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{11})}{10}$

ステップ 7.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.1.2.2

$- 20$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.1.3

$9$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.1.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.5.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{11}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{11})}{10}$

ステップ 7.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (i \sqrt{11})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{11})}{10}$

ステップ 7.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 7.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 5) (x + \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}) (x + \frac{3 + i \sqrt{11}}{10})$

ステップ 9

多項式 $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ の根（0）です。

$x = - 5, - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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