微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{\frac{2 x}{x + 5} - 1}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{2 x}{x + 5} - 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{2 x}{x + 5} - 1 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$\frac{2 x}{x + 5} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{x + 5} - 1 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \geq 0$

ステップ 2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 1$ と $\frac{x + 5}{x + 5}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x + 5} + \frac{- (x + 5)}{x + 5} \geq 0$

ステップ 2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x - (x + 5)}{x + 5} \geq 0$

ステップ 2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - x - 1 \cdot 5}{x + 5} \geq 0$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 x - x - 5}{x + 5} \geq 0$

ステップ 2.1.3.3

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x - 5}{x + 5} \geq 0$

ステップ 2.2

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 5 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 5$

$x = - 5$

ステップ 2.6

解をまとめます。

$x = 5, - 5$

ステップ 2.7

$\frac{2 x}{x + 5} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.7.1

$\frac{2 x}{x + 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 8)}{(- 8) + 5} - 1 \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $4.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.9.2

区間 $- 5 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $- 5 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 (0)}{(0) + 5} - 1 \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.9.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{2 (8)}{(8) + 5} - 1 \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $0.\overline{230769}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x \geq 5$

ステップ 3

$\frac{2 x}{x + 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 5 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 5) \cup [5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 5, x \geq 5}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例