微分積分学準備例

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \arctan (y + \frac{π}{2})$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$ として書き換えます。

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y + \frac{π}{2} = \tan (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$y = \tan (x) - \frac{π}{2}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ が $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = \tan (\arctan (x + \frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

関数の正切と逆正切は逆です。

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

$x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

ステップ 4.2.4.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$0$ を $2$ で割ります。

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + 0$

ステップ 4.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\tan (x) - \frac{π}{2})$ の値を求めます。

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan ((\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

ステップ 4.3.3

$(\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1

$- \frac{π}{2}$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x) + 0)$

ステップ 4.3.3.2

$\tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x))$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ は $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

微分積分学準備 例

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