微分積分学準備例

$f (x) = 7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$

ステップ 1

$7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 7$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 7$

ステップ 2.1.3

$- 7$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 7$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 7$ を多項式に代入します。

$7 {(- 7)}^{3} + 53 {(- 7)}^{2} + 29 \cdot - 7 + 7$

ステップ 2.1.3.2

$- 7$ を $3$ 乗します。

$7 \cdot - 343 + 53 {(- 7)}^{2} + 29 \cdot - 7 + 7$

ステップ 2.1.3.3

$7$ に $- 343$ をかけます。

$- 2401 + 53 {(- 7)}^{2} + 29 \cdot - 7 + 7$

ステップ 2.1.3.4

$- 7$ を $2$ 乗します。

$- 2401 + 53 \cdot 49 + 29 \cdot - 7 + 7$

ステップ 2.1.3.5

$53$ に $49$ をかけます。

$- 2401 + 2597 + 29 \cdot - 7 + 7$

ステップ 2.1.3.6

$- 2401$ と $2597$ をたし算します。

$196 + 29 \cdot - 7 + 7$

ステップ 2.1.3.7

$29$ に $- 7$ をかけます。

$196 - 203 + 7$

ステップ 2.1.3.8

$196$ から $203$ を引きます。

$- 7 + 7$

ステップ 2.1.3.9

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 7$ は既知の根なので、多項式を $x + 7$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7}{x + 7}$

ステップ 2.1.5

$7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ を $x + 7$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$7$

$7 x^{3}$

$53 x^{2}$

$29 x$

$7$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $7 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			+	$7 x^{3}$	+	$49 x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $7 x^{3} + 49 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{2} + 28 x$ の符号をすべて変更します。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$
							+	$x$	+	$7$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 7$ の符号をすべて変更します。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$
							-	$x$	-	$7$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$
							-	$x$	-	$7$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$7 x^{2} + 4 x + 1$

ステップ 2.1.6

$7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 7) (7 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 7 = 0$

$7 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 2.4

$7 x^{2} + 4 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$7 x^{2} + 4 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$7 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $7 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 7$ 、 $b = 4$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 28$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$16$ から $28$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$ を簡約します。

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{3}}{7}$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

ステップ 2.5

最終解は $(x + 7) (7 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 7, - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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