微分積分学準備例

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{6}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.2.3

$6$ に $4$ をかけます。

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.3.3

$5$ に $3$ をかけます。

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{3}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.4.3

$3$ に $- 7$ をかけます。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.5.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

ステップ 1.6.2

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{5}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.2.3

$5$ に $24$ をかけます。

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.3.3

$4$ に $15$ をかけます。

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 21 x^{2}$ の微分係数は $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.4.3

$2$ に $- 21$ をかけます。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

ステップ 2.5.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $120 x^{4}$ の微分係数は $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.2.3

$4$ に $120$ をかけます。

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x^{3}$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.3.3

$3$ に $60$ をかけます。

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 42 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 42$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 42 x$ の微分係数は $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4.3

$- 42$ に $1$ をかけます。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

ステップ 3.5.2

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$

微分積分学準備 例

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