微分積分学準備例

$2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225$

ステップ 1

$2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 1225, \pm 5, \pm 245, \pm 7, \pm 175, \pm 25, \pm 49, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 1225, \pm 612.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 245, \pm 122.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 175, \pm 87.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 49, \pm 24.5, \pm 35, \pm 17.5$

ステップ 2.1.1.3

$2.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2.5$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$2.5$ を多項式に代入します。

$2 \cdot {2.5}^{5} - 29 \cdot {2.5}^{4} + 112 \cdot {2.5}^{3} - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.2

$2.5$ を $5$ 乗します。

$2 \cdot 97.65625 - 29 \cdot {2.5}^{4} + 112 \cdot {2.5}^{3} - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ に $97.65625$ をかけます。

$195.3125 - 29 \cdot {2.5}^{4} + 112 \cdot {2.5}^{3} - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.4

$2.5$ を $4$ 乗します。

$195.3125 - 29 \cdot 39.0625 + 112 \cdot {2.5}^{3} - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 29$ に $39.0625$ をかけます。

$195.3125 - 1132.8125 + 112 \cdot {2.5}^{3} - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.6

$195.3125$ から $1132.8125$ を引きます。

$- 937.5 + 112 \cdot {2.5}^{3} - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.7

$2.5$ を $3$ 乗します。

$- 937.5 + 112 \cdot 15.625 - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.8

$112$ に $15.625$ をかけます。

$- 937.5 + 1750 - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.9

$- 937.5$ と $1750$ をたし算します。

$812.5 - 74 \cdot {2.5}^{2} + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.10

$2.5$ を $2$ 乗します。

$812.5 - 74 \cdot 6.25 + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.11

$- 74$ に $6.25$ をかけます。

$812.5 - 462.5 + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.12

$812.5$ から $462.5$ を引きます。

$350 + 350 \cdot 2.5 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.13

$350$ に $2.5$ をかけます。

$350 + 875 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.14

$350$ と $875$ をたし算します。

$1225 - 1225$

ステップ 2.1.1.3.15

$1225$ から $1225$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$2.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225}{2 x - 5}$

ステップ 2.1.1.5

$2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225$ を $2 x - 5$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $2 x^{5}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{4}$
	$2 x$	-	$5$		$2 x^{5}$	-	$29 x^{4}$	+	$112 x^{3}$	-	$74 x^{2}$	+	$350 x$	-	$1225$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{5} - 5 x^{4}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 24 x^{4}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 24 x^{4} + 60 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $52 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $52 x^{3} - 130 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

ステップ 2.1.1.5.17

被除数 $56 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

ステップ 2.1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

ステップ 2.1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $56 x^{2} - 140 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

ステップ 2.1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

$490 x$

ステップ 2.1.1.5.21

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

$490 x$

$1225$

ステップ 2.1.1.5.22

被除数 $490 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

$490 x$

$1225$

ステップ 2.1.1.5.23

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

$490 x$

$1225$

$490 x$

$1225$

ステップ 2.1.1.5.24

式は被除数から引く必要があるので、 $490 x - 1225$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

$490 x$

$1225$

$490 x$

$1225$

ステップ 2.1.1.5.25

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$2 x$

$5$

$2 x^{5}$

$29 x^{4}$

$112 x^{3}$

$74 x^{2}$

$350 x$

$1225$

$2 x^{5}$

$5 x^{4}$

$24 x^{4}$

$112 x^{3}$

$24 x^{4}$

$60 x^{3}$

$52 x^{3}$

$74 x^{2}$

$52 x^{3}$

$130 x^{2}$

$56 x^{2}$

$350 x$

$56 x^{2}$

$140 x$

$490 x$

$1225$

$490 x$

$1225$

$0$

ステップ 2.1.1.5.26

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{4} - 12 x^{3} + 26 x^{2} + 28 x + 245$

ステップ 2.1.1.6

$2 x^{5} - 29 x^{4} + 112 x^{3} - 74 x^{2} + 350 x - 1225$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 5) (x^{4} - 12 x^{3} + 26 x^{2} + 28 x + 245) = 0$

ステップ 2.1.2

有理根検定を用いて $x^{4} - 12 x^{3} + 26 x^{2} + 28 x + 245$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

ステップ 2.1.2.3

$7$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $7$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$7$ を多項式に代入します。

$7^{4} - 12 \cdot 7^{3} + 26 \cdot 7^{2} + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.2

$7$ を $4$ 乗します。

$2401 - 12 \cdot 7^{3} + 26 \cdot 7^{2} + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.3

$7$ を $3$ 乗します。

$2401 - 12 \cdot 343 + 26 \cdot 7^{2} + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.4

$- 12$ に $343$ をかけます。

$2401 - 4116 + 26 \cdot 7^{2} + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.5

$2401$ から $4116$ を引きます。

$- 1715 + 26 \cdot 7^{2} + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.6

$7$ を $2$ 乗します。

$- 1715 + 26 \cdot 49 + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.7

$26$ に $49$ をかけます。

$- 1715 + 1274 + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.8

$- 1715$ と $1274$ をたし算します。

$- 441 + 28 \cdot 7 + 245$

ステップ 2.1.2.3.9

$28$ に $7$ をかけます。

$- 441 + 196 + 245$

ステップ 2.1.2.3.10

$- 441$ と $196$ をたし算します。

$- 245 + 245$

ステップ 2.1.2.3.11

$- 245$ と $245$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.2.4

$7$ は既知の根なので、多項式を $x - 7$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 12 x^{3} + 26 x^{2} + 28 x + 245}{x - 7}$

ステップ 2.1.2.5

$x^{4} - 12 x^{3} + 26 x^{2} + 28 x + 245$ を $x - 7$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

ステップ 2.1.2.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

ステップ 2.1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

ステップ 2.1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - 7 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

ステップ 2.1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

ステップ 2.1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

ステップ 2.1.2.5.7

被除数 $- 5 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

ステップ 2.1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

ステップ 2.1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 5 x^{3} + 35 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

ステップ 2.1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

ステップ 2.1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

ステップ 2.1.2.5.12

被除数 $- 9 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

ステップ 2.1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

ステップ 2.1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 x^{2} + 63 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

ステップ 2.1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

$35 x$

ステップ 2.1.2.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

$35 x$

$245$

ステップ 2.1.2.5.17

被除数 $- 35 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$35$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

$35 x$

$245$

ステップ 2.1.2.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$35$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

$35 x$

$245$

$35 x$

$245$

ステップ 2.1.2.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 35 x + 245$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$35$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

$35 x$

$245$

$35 x$

$245$

ステップ 2.1.2.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$35$

$x$

$7$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$26 x^{2}$

$28 x$

$245$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$5 x^{3}$

$26 x^{2}$

$5 x^{3}$

$35 x^{2}$

$9 x^{2}$

$28 x$

$9 x^{2}$

$63 x$

$35 x$

$245$

$35 x$

$245$

$0$

ステップ 2.1.2.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35$

ステップ 2.1.2.6

$x^{4} - 12 x^{3} + 26 x^{2} + 28 x + 245$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 5) ((x - 7) (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35)) = 0$

ステップ 2.1.3

有理根検定を用いて $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

ステップ 2.1.3.1.3

$7$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $7$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.3.1

$7$ を多項式に代入します。

$7^{3} - 5 \cdot 7^{2} - 9 \cdot 7 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.2

$7$ を $3$ 乗します。

$343 - 5 \cdot 7^{2} - 9 \cdot 7 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.3

$7$ を $2$ 乗します。

$343 - 5 \cdot 49 - 9 \cdot 7 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.4

$- 5$ に $49$ をかけます。

$343 - 245 - 9 \cdot 7 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.5

$343$ から $245$ を引きます。

$98 - 9 \cdot 7 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.6

$- 9$ に $7$ をかけます。

$98 - 63 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.7

$98$ から $63$ を引きます。

$35 - 35$

ステップ 2.1.3.1.3.8

$35$ から $35$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.3.1.4

$7$ は既知の根なので、多項式を $x - 7$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35}{x - 7}$

ステップ 2.1.3.1.5

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35$ を $x - 7$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$7$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$35$

ステップ 2.1.3.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$

ステップ 2.1.3.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

ステップ 2.1.3.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 7 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

ステップ 2.1.3.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.3.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$

ステップ 2.1.3.1.5.7

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$

ステップ 2.1.3.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$14 x$

ステップ 2.1.3.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} - 14 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$

ステップ 2.1.3.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$5 x$

ステップ 2.1.3.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$5 x$	-	$35$

ステップ 2.1.3.1.5.12

被除数 $5 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$5 x$	-	$35$

ステップ 2.1.3.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$5 x$	-	$35$
							+	$5 x$	-	$35$

ステップ 2.1.3.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x - 35$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$5 x$	-	$35$
							-	$5 x$	+	$35$

ステップ 2.1.3.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$5 x$	-	$35$
							-	$5 x$	+	$35$
										$0$

ステップ 2.1.3.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 2 x + 5$

ステップ 2.1.3.1.6

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 35$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 5) ((x - 7) ((x - 7) (x^{2} + 2 x + 5))) = 0$

ステップ 2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 5) ((x - 7) (x - 7) (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.4

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1.1

$x - 7$ を $1$ 乗します。

$(2 x - 5) ((x - 7) (x - 7) (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.4.1.2

$x - 7$ を $1$ 乗します。

$(2 x - 5) ((x - 7) (x - 7) (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x - 5) ({(x - 7)}^{1 + 1} (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(2 x - 5) ({(x - 7)}^{2} (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 5) {(x - 7)}^{2} (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 5 = 0$

${(x - 7)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

ステップ 2.3

$2 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 2.4

${(x - 7)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

${(x - 7)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 7)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 7)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.5

$x^{2} + 2 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} + 2 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm 2 i$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

ステップ 2.6

最終解は $(2 x - 5) {(x - 7)}^{2} (x^{2} + 2 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{5}{2}, 7, - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例