微分積分学準備例

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

ステップ 1

左辺から始めます。

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (θ)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (θ)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

ステップ 2.2.2

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ を展開します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.4

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ と $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.4.2

$- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ と $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1

$\frac{1}{\sin (θ)}$ に $\frac{1}{\sin (θ)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.5.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.5.1.3

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.5.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.5.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 2.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 2.5.3

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.3.1

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ に $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

ステップ 2.5.3.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

ステップ 2.5.3.3

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

ステップ 2.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

ステップ 2.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

ステップ 2.5.3.6

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

ステップ 2.5.3.7

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

ステップ 2.5.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 2.8

$\sin^{2} (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 2.8.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ は公式です

微分積分学準備 例

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