微分積分学準備例

$\sin (θ) (\cot (θ) + \tan (θ)) = \sec (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sin (θ) (\cot (θ) + \tan (θ))$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \tan (θ))$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (θ)$ を書き換えます。

$\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.3

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) + \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$\sin (θ)$ と $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ をまとめます。

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4.3

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\cos (θ) + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\cos (θ) + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (θ)$ です。

$\cos (θ) + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)}$

ステップ 4.2

$\cos (θ)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\cos (θ)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos (θ)}$ を $\sec (θ)$ に書き換えます。

$\sec (θ)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sin (θ) (\cot (θ) + \tan (θ)) = \sec (θ)$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例