微分積分学準備例

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)}{\sin^{4} (θ) - \cos^{4} (θ)}$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (θ)$ であり、 $b = \sin (θ)$ です。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{\sin^{4} (θ) - \cos^{4} (θ)}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sin^{4} (θ)$ を ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{{(\sin^{2} (θ))}^{2} - \cos^{4} (θ)}$

ステップ 2.2

$\cos^{4} (θ)$ を ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{{(\sin^{2} (θ))}^{2} - {(\cos^{2} (θ))}^{2}}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin^{2} (θ)$ であり、 $b = \cos^{2} (θ)$ です。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ))}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{1 (\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ))}$

ステップ 2.4.2

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

ステップ 2.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin (θ)$ であり、 $b = \cos (θ)$ です。

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

微分積分学準備 例